MATERI MATEMATIKA WAJIB BAB 7 SEM 2 ATURAN SINUS DAN COSINUS

ATURAN SINUS DAN COSINUS

Kita tahu bahwa, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut adalah sebesar 180°. Untuk segitiga siku-siku, cukup dengan 1 sisi dan 1 sudut (tidak termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui, kita telah dapat menentukan sisi dan sudut lainnya, yaitu dengan menggunakan phythagoras ataupun perbandingan trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya.

Sedangkan untuk segitiga sembarang, minimal dibutuhkan 3 unsur yang diketahui, yaitu

• sisi, sudut, sudut
• sudut, sisi, sisi
• sisi, sisi, sisi

Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan sinus atau aturan cosinusuntuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.

Perhatikan segitiga berikut !

sisi di depan sudut A adalah BC = a
sisi di depan sudut B adalah AC = b
sisi di depan sudut C adalah AB = c


Aturan Sinus
Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c
berlaku$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$$
Contoh 1
Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC  = 6. Tentukan panjang BC !

Jawab :

$\frac{BC}{sin{45}^{\circ }}=\frac{6}{sin{30}^{\circ }}$

BC = $\frac{6\times sin{45}^{\circ }}{sin{30}^{\circ }}$
BC = $\frac{6\times \frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$
BC = 6√2

Jadi, panjang BC adalah 6√2


Contoh 2
Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut

Jawab :

$\frac{8}{sin\theta }=\frac{4\sqrt{6}}{sin{60}^{\circ }}$

sin θ = $\frac{8\times sin{60}^{\circ }}{4\sqrt{6}}$
sin R = $\frac{8\times \frac{1}{2}\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}$ (rasionalkan)
sin R = $\frac{1}{2}$√2

⇒ θ = 45°

Jadi, besar sudut θ adalah 45°


Aturan Cosinus
Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c, dengan C adalah sudut di depan sisi c, berlaku$$c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$$atau dapat pula ditulis$$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$
Contoh 3
Tentukan x dari segitiga berikut !

Jawab :
Dengan aturan cosinus :
x² = 4² + 6² − 2. 4. 6. cos 60°
x² = 4² + 6² − 2. 4. 6. $\frac{1}{2}$
x² = 28
x = $\sqrt{28}$ = 2√7

Jadi, nilai x adalah 2√7


Contoh 4
Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika  ∠Q = θ, tentukan θ !

Jawab :

Dengan aturan cosinus :
(√7)² = (1)² + (2√3)² − 2. 1. 2√3. cos θ
7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ
4√3. cos θ = 6
cos θ = $\frac{6}{4\sqrt{3}}$ (rasionalkan)
cos θ = $\frac{1}{2}$√3
⇒ θ = 30°

atau

cos θ = $\frac{1^2+(2\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{7}{)}^2}{2.1.2\sqrt{3}}$
cos θ = $\frac{1+12-7}{4\sqrt{3}}$
cos θ = $\frac{6}{4\sqrt{3}}$ (rasionalkan)
cos θ = $\frac{1}{2}$√3
⇒ θ = 30°


Tips
Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui.
Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°.
Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°.

Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui atau ketiga sisi diketahui.
Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6.
Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.


Latihan Soal

Latihan 1
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan :
- panjang BC
- ∠B
- ∠C

Jawab :

Dengan aturan cosinus
BC² = 5² + 8² − 2. 5. 8. cos 60°
BC² = 25 + 64 − 80. $\frac{1}{2}$
BC² = 49
BC = 7

Dengan aturan sinus
$\frac{7}{sin{60}^{\circ }}=\frac{5}{sinB}$
sin B = $\frac{5.sin{60}^{\circ }}{7}$
sin B = $\frac{5.\frac{1}{2}\sqrt{3}}{7}$
sin B = 0,6186
B = sin^-1(0,6186)  (gunakan kalkulator)
B = 38,21°

A + B + C = 180°
60° + 38,21° + ∠C = 180°
C = 81,79°

diperoleh
- panjang BC = 7
- ∠B = 38,21°
- ∠C = 81,79°


Latihan 2
Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !

Jawab :

Dengan aturan cosinus :
cos θ = $\frac{3^2+5^2-7^2}{2.3.5}$
cos θ = $-\frac{1}{2}$

Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
θ = 180° − 60°
θ = 120°

sin θ = sin 120°
sin θ = sin (180° − 60°)
sin θ = sin 60°  (K.II sinus positif)
sin θ = $\frac{1}{2}$√3

tan θ = tan 120°
tan θ = tan (180° − 60°)
tan θ = −tan 60°  (K.II tangen negatif)
tan θ = −√3


Latihan 3
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh 20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah 150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...

Jawab :
Utara = 000°

∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga
∠BAU = ∠ABS = 30°

∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga
∠CBU + ∠CBS = 180°
150° + ∠CBS = 180°
∠CBS = 30°

Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60°

Dengan aturan cosinus
AC² = 20² + 40² − 2. 20. 40. cos 60°
AC² = 400 + 1600 − 1600. $\frac{1}{2}$
AC² = 1200
AC = $\sqrt{400.3}$
AC = 20√3

Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 20√3 mil.


Latihan 4
Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling segi-8 tersebut adalah...

Jawab :

θ = $\frac{{360}^{\circ }}{8}$ = 45°

Perhatikan segitiga AOB
s² = 10² + 10² − 2. 10. 10. cos 45°
s² = 200 − 200. $\frac{1}{2}$√2
s² = 200 − 100√2
s² = 100(2 − √2)
s = 10$\sqrt{2-\sqrt{2}}$

K = 8s
K = 8. 10$\sqrt{2-\sqrt{2}}$
K = 80$\sqrt{2-\sqrt{2}}$

Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ cm.


Latihan 5
Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC = 5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !

Jawab :

ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°
A + C = 180°
C = 180° − A
cos C = cos(180° − A)
cos C = −cos A

Perhatikan segitiga ABD
BD² = (3√10)² + (2√5)² − 2. 3√10. 2√5 cos A
BD² = 110 − 60√2 cos A  ......................(1)

Perhatikan segitiga BCD
BD² = (6)² + (5√2)² − 2. 6. 5√2 cos C
BD² = 86 − 60√2 (−cos A)
BD² = 86 + 60√2 cos A  .........................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A
120√2 cos A = 24
cos A = $\frac{1}{5\sqrt{2}}$

Dari persamaan (1)
BD² = 110 − 60√2 cos A
BD² = 110 − 60√2. $\frac{1}{5\sqrt{2}}$
BD² = 98
BD = $\sqrt{49.2}$
BD = 7√2

Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm